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Métodos Numéricos para zeros reais de funções reais

Um resumo de revisão sobre métodos numéricos para zeros reais de funções reais. Como é um resumo não há nenhuma dedução desses métodos.

Isolamento: para um f(x) contínuo no intervalo [a,b] tal que f(a)·f(b) < 0 e que ε ∈ [a,b], onde ε é tal que f(ε) = 0.

Métodos de zeros reais de funções reais: o objetivo é encontrar um valor x o mais próximo possível de ε.

  • Escolhemos um intervalo [a,b] tal que ε∈[a,b] e f(a)·f(b) < 0.
  • No passo k encontramos uma aproximação xk (como obter essa aproximação varia de acordo com o método e é feito usando o valor da iteração anterior).
  • Fazemos um teste de parada. Se |xk+1-xk | < Ea ou f(xk) < Eb, paramos. Os valores de Ea e Eb são dados pelo problema.

Método da bisseção:

  • Iteramos fazendo biseção
  • Na próxima iteração escolhemos um novo intervalo
    • Se f(x)·f(b) < 0, então escolhemos o mesmo b e fazemos a ← x.
    • Se f(a)·f(x) < 0, então escolhemos o mesmo a e fazemos b ← x.

Método do ponto falso:

  • No passo k achamos uma aproximação ponto falso
  • Na próxima passo escolhemos novos valores para a ou b da mesmo forma que fizemos no método da bisseção.

Método do ponto fixo:

  • Encontramos uma função de iteração φ(x) tal que φ(x) = x + A(x)·f(x) com a condição que em ε, ponto fixo de φ(x), se tenha A(ε) ≠ 0.
  • xk+1 = φ(xk).

Método de Newton-Raphson:

  • Método de Newton-Raphson
  • Para que o método convirja
    • φ(x) e φ'(x) devem ser contínuas no intervalo [a,b] escolhido.
    • |φ'(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈[a,b].

obs: Como newton-raphson é necessário calcular derivadas analiticamente, há uma boa tabela de derivadas na Wikipédia aqui.

Método da Secante:

  • Aplicamos o método de newton-raphson mas usando uma aproximação para a derivada
    Secante

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