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POSCOMP 2007, Questão 18, Matemática

18. [MT] Um professor de programação passa um trabalho e avisa à turma que vai utilizar um verificador automático para detectar trabalhos copiados. Os alunos descobrem que o verificador não é capaz de identificar a cópia se as linhas do programa não aparecem na mesma ordem. Além disso, eles também descobrem que uma rotina do trabalho de um de seus colegas continua funcionando corretamente se as linhas são trocadas de ordem, mas nenhuma linha aparece à distância maior do que 1 de sua posição original. Indique o número de alunos que podem entregar uma cópia do trabalho quando n = 7 (incluindo o próprio autor do trabalho).
a) 32
b) 21
c) 14
d) 128
e) 64


Resolução:

trabalho_original

Seja a seguinte notação, quando o trabalho não trocou nenhuma linha escrevemos IIIIIII. Quando o trabalho tem a sexta linha trocada com a sétima escrevemos IIIIIX.

trabalho_mudado

É como se trocássemos os II por um X. Assim temos as seguintes sequências, a sem nenhum X:

  1. IIIIIII

Então os com somente um X.

  1. IIIIIX
  2. IIIIXI
  3. IIIXII
  4. IIXIII
  5. IXIIII
  6. XIIIII

Os com dois X:

  1. IIIXX
  2. IIXIX
  3. IXIIX
  4. XIIIX
  5. IIXXI
  6. IXIXI
  7. XIIXI
  8. IXXII
  9. XIXII
  10. XXIII

E os com três X:

  1. IXXX
  2. XXXI
  3. XXIX
  4. XIXX

Como não podemos usar mais que três X, então temos o número de combinação foi de 21, alternativa B.

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