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Category: português

Uma carreta sobe uma estrada …

Questão: Uma carreta sobe uma estrada cuja inclinação em relação à horizontal é de 30°, a uma velocidade de 40km/h. A força resistiva é igual a 0,75 do peso da carreta. Que velocidade teria a mesma carreta se descesse a estrada com a mesma potência?

Resposta:

Generalizando, vou chamar o ângulo de Θ e o coeficiente da orça resistiva de ψ.

Subida
Figura 1 – A subida

Essa força resistiva não é exatamente o atrito, porque se fosse o atrito teríamos de calcular as componentes do peso para descobrir a normal. O trabalho exercido por essa força resistiva é igual a força ψ·m·g vezes a distância d.

Na subida:
Ea=Eb
onde

  • Ea = m·v²/2 + Em
  • Eb = m·v²/2 + m·g·h + ψ·m·g·d

A carreta ira de um certo ponto A para um certo ponto B com uma mesma velocidade, a inércia pode cuidar disso. Mas a carreta precisa de alguma energia para converter em energia potencial gravitacional e na energia gasta pelo atrito. Essa energia vamos chamar de Em, a energia do motor. A carreta já parte com essa energia guardada para ser transformada em outras formas de energia. Podemos ver isso como o combustível do veículo. Note que nenhuma energia aparece ou se perde.

Igualando as duas equações temos:

  • m·v²/2 + Em = m·v²/2 + m·g·h + ψ·m·g·d

cortando a energia cinética dos dois lados e como h = d·senΘ:

  • Em = m·g·d·senΘ + ψ·m·g·d

colocando d em evidência:

  • Em = d·(m·g·senΘ + ψ·m·g)

A potência do motor na subida é dada pelo trabalho desenvolvido pelo motor dividido pelo tempo levado para subir do ponto A até o ponto B.

  • Pm = Em/t

Como eu não tenho esse tempo eu posso dizer que o tempo é igual à distância dividida pela velocidade.

  • Pm = Em/(d/v)
  • Pm = Em·v/d

Substituindo Em:

  • Pm = d·(m·g·senΘ + ψ·m·g)·v/d
  • Pm = (m·g·senΘ + ψ·m·g)·v
  • Pm = v·m·g·(senΘ + ψ)

Na descida:

Descida
Figura 2 – A descida

Usando o mesmo raciocínio e notação da subida temos:

Ea=Eb
onde

  • Ea = m·v²/2 + ψ·m·g·d
  • Eb = m·v²/2 + m·g·h + Em

igualando as duas equações:

  • m·v²/2 + ψ·m·g·d = m·v²/2 + m·g·h + Em
  • ψ·m·g·d = m·g·h + Em
  • Em = ψ·m·g·d – m·g·h

Como h = d·senΘ:

  • Em = ψ·m·g·d – m·g·d·senΘ
  • Em = d·m·g·(ψ – senΘ)

A potência do motor é dada pelo trabalho sobre o tempo:

  • Pm = Em/t

Novamente não conhecemos o tempo mas sabemos que ele é a distância sobre a velocidade, que vou chamar de v linha para diferenciar da velocidade da carreta na subida:

  • Pm = Em/(d/v’)
  • Pm = Em·v’/d

Substituindo Em:

  • Pm = d·m·g·(ψ – senΘ)·v’/d
  • Pm = v’·m·g·(ψ – senΘ)

Como queremos que a potência na subida seja igual a potência na descida, igualamos as equações das potências:

  • v·m·g·(senΘ + ψ) = v’·m·g·(ψ – senΘ)
  • v·(senΘ + ψ) = v’·(ψ – senΘ)
  • v’·(ψ – senΘ) = v·(senΘ + ψ)
  • v’ = v·(senΘ + ψ) / (ψ – senΘ)

Note que nesse problema, a velocidade na descida só depende da velocidade na subida, o coeficiente da força resistiva e do ângulo Θ.

Calculando para v = 40km/h, ψ = 0,75, Θ = 30º e senΘ = 0,5.

  • v’ = 40km/h·(0,5 + 0,75) / (0,75 – 0,5)
  • v’ = 40km/h·1,25 / 0,25
  • v’ = 200km/h

O Duke é Livre

Duke comendo café com tapioca
Duke comendo um típico café com tapioca. Código-fonte.

Nem todo mundo sabe disso. Quando a Sun fez o anuncio da liberação do Java sobre a GPL eles aproveitaram e também lançaram o Duke em uma licença BSD. As imagens que ilustram esse post foram feitas por mim e incluem seu código-fonte em SVG.

Muitos mascotes de projetos livres não foram lançados sobre a mesma licença do projeto. O antigo demônio do BSD pertence a Marshall K. McKusick. Até mundialmente famoso Tux do Linux parecem pertencer ao seu criador, Larry Ewing. É claro que esses mascotes são usados praticamente livremente embora não tenham sido explicitamente lançados sobre um licença livre.

Duke Estudando e tomando café
Um Duke Acadêmico tomando um café e estudando. Código-fonte.

O Duke além de livre tem um site, (dke.dev.java.net) para reunir desenhos, animações e modelos 3D que qualquer um pode baixar, utilizar e modificar. Há muito material lá.

Duke cangaceiro, tomando um café com tapioca
Duke cangaceiro, comendo tapioca com café. Mais Ceará impossível :) Código-fonte.

Atualizado em 14 de Novembro de 2008:

Um ano da postagem original, olha só o que acharam na praça do Ferreira, centro de Fortaleza:

Soma de dois vetores

Questão 11 do capítulo 2 do livro Física 1, R. Resnick e D. Halliday.

Dois vetores de módulos a e b formam entre si um ângulo ϴ (teta). Determine o módulo s do vetor resultante da soma destes vetores.

Solução:

Podemos desenhar a e b assim, para algum ângulo ϴ qualquer:

Dois vetores a e b com um ângulo teta

A resultante r será algo dessa forma:

Resultante R

Se decompormos b em suas componentes bx e by teremos essa figura:

Vetores completos

Temos aí um triângulo retângulo, onde r é a hipotenusa, by é um cateto e a+bx é o outro cateto. Aplicando pitágoras:

r² = by² + (a+bx

Mas sabemos que bx= b·cosϴ e que by= b·senϴ. De forma que podemos escrever e desenvolver

r² = (b·senϴ)² + (a+b·cosϴ)²
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ

Colocando b² em evidência.

r² = a² + b²(sen²ϴ+cos²ϴ) + 2·a·b·cosϴ

Da trigonometria sabemos que 1 = sen²ϴ+cos²ϴ.

r² = a² + b² + 2·a·b·cosϴ

Brasão da UFC

Eu já precisei diversas vezes de um brasão da UFC mas sempre fico usando um velho gif de baixa resolução que todo mundo usa.

Quando eu estava refazendo o site da prppg eu comecei a redesenhar vetorialmente o logo da universidade. Como o desenho é vetorial ele pode ser transformado e redimensionado sem restrições de resolução. Ainda não está pronto, faltam as frases em latim, melhorar as folhas de carnaúba e alguns acabamentos. Aqui está uma prévia do trabalho:

Brasão da UFC

O código-fonte está aqui, em SVG, criado no Inkscape. Por razões óbvias eu licencio esse trabalho sob domínio público, mas uma referencia à minha autoria é bem vinda, assim como é bem vinda críticas e melhorias.

Creative Commons License

Brasão da UFC esta licenciado sob a Licença de Domínio Público Creative Commons.

JavaScript: Relógio Digital


Código-Fonte

Aqui na página colocamos:

<input type='text' value='00:00:00' id='relogio' readonly size='6'
style="font-size: 200%; color:red"/>
<script type="text/javascript" src="/scripts/relogio.js"></script>

Que cria um input de texto com nome relógio e depois chamamos o script relogio.js que contém o seguinte código:

function proximo_segundo(){
	var hoje = new Date
	var hora = hoje.getHours()
	var minutos = hoje.getMinutes()
	var segundos = hoje.getSeconds()
	relogio = document.getElementById('relogio')
	relogio.value = hora +":"+minutos+":"+segundos
	setTimeout('proximo_segundo()',1000)
}
proximo_segundo()

Ele cria um objeto Date, encontro o elemento com id ‘relogio’ e coloca no valor dele as informações extraídas do objeto Date. Em seguida ele agenda para daqui a um segundo chamar a si próprio, recursivamente.

Um refinamento que se pode fazer nesse código é uma função auxiliar para preencher com um zero à esquerda, transformando 1:2:3 em 01:02:03. Eu não coloquei isso para deixar o código o mais simples possível.

Como eu ainda sou muito novinho no JavaScript eu não sei se usar uma recursão desse tipo é uma boa idéia ou não. Era isso ou um laço infinito.