Exercícios “Séries Uniformes e Variáveis – Rendas”. Lista de exercícios 8. Professor Manoel Ribeiro, Disciplina Matemática Financeira, Universidade Federal do Ceará.

Questão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre ovalor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de:

Resposta:
h = 0.04
iB = 0.12 * 3

AB = N * [1-(iB * h)]
300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]
300000 = N * [1-0.4]
N = 500000

Vc = 0.04 * N
Vc = 0.04 * 500000
Vc = 20000

alternativa e.

Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de vencimento é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é:

Resposta:
N = 256000
n = 7 meses
i = 0.04 a.m.
iB = n*i = 7*0.04 = 0.28
A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000

Alternativa a.

Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo. Nesseas condições, o valor nominal do tótulo é de:

Resposta:
Dc = 860
Dr = 781.82

Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr),
N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 = 8600.22

Alternativa c.

Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor de seu desconto comercial simles. Sabendo-se que a taxa de juyros adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é:

Resposta:
i = 60% a.a. → i = 0.6 a.a.
A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto)
5D = N – D → N = 6D
A = N * ( 1 – i*n)
5D = 6D ( 1 – 0.6 * n)
5 = 6 ( 1 – 0.6 * n)
5 = 6 – 3.6 * n
3.6 * n = 1
n = 0.277 (anos)
n = 0.277 * 365 dias
n = 101.105 dias

Alternativa a.

Questão 5 – Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de 516.000,00. Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais. Sendo a taxa de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de:

Resposta:
N = 600000
Ab = 516000
h = 0.02
i = 0.96 a.a.

Db = Db + N*h
Ab = N * [1 – (i*n+h)]

516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)]
0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.02
0.8533 = 0.98 – 0.96*n
0.96 * n = 0.1267
n = 0.1319 anos ≈ 45 dias

Questão 6 – O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples:

Resposta:
Dc = 600
i = 0.05 a.m.
n = 4

Dc = Dr * (1 + i*n)
600 = Dr * (1 + 0.05*4)
Dr = 600/1.2
Dr = 500

alternativa e.

Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota primissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.

Resposta:
Dr = 800
i = 0.04 a.m.
n = 5 meses

Dc = Dr * (1 + i*n)
Dc = 800 * (1 + 0.04*5)
Dc = 800 * 1.2
Dc = 960

Alternativa b.

Questão 8 – Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de deconto simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

Resposta:
Dc = 9810
n = 3 meses
i = 0.03 a.m.

Dc = Dr * (1 + i*n)
9810 = Dr * (1 + 0.03*3)
9810 = Dr * 1.09
Dr = 9810/1.09
Dr = 9000

alternativa e.

Questão 9 – Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal:

Resposta:
N = 10900
Dc = 981
n = 3

Dc = N * i * n
981 = 10900 * i * 3
981 = 32700 * i
i = 0.03 (3% a.m.)

Dr = N * i * n / (1+i*n)
Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3)
Dr = 10900 * 0.09 / 1.09
Dr = 10900 * 0.09 / 1.09
Dr = 900

outra forma de fazer a questão seria usando:
N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr)

10900 = 981 * Dr / (981-Dr)
10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr
11881 * Dr = 10692900
11881 * Dr = 10692900
Dr = 900

Questão 10 – Um título sofre desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional:

Resposta:
Dc = 1856
n = 4 meses
i = 0.04 a.m.

Dc = N * i * n
Dr = N * i * n / (1+i*n)
Dr = 1856 / (1+0.04*4)
Dr = 1856 / 1.16
Dr = 1600

Questão 11 – Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

Resposta:
N = 10000
n = 3 meses
i = 0.03 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
(1+0.03)3 = 1.092727
Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727
Dcr = 848.58

Dcr = N – A
848.58 = 10000 – A
A = 10000 – 848.58
A = 10000 – 848.58
A = 9151.42

Alternativa b.

Questão 12 – Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m.

Resposta:
n = 4 meses
i = 0.03 a.m.
A = 840

Dcr = N – A
Dcr = N – 840

Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
(1+0.03)4 = 1.12550881
(1+0.03)4 -1 = 0.12550881
Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881

N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840
N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004
N = 945.4274004

Dcr = 945.4274004 – 840
Dcr ≈ 105.43

Questão 13 – Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m.:

Resposta:
Dcr = 6465.18
n = 4 meses
i = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
(1+i)n = 1.21550625
(1+i)n – 1 = 0.21550625
6465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625
N = 36465,14

Alternativa e.

Questão 14 – Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m. (despreza os centavos):

Resposta:
Dcr = 340.10
n = 6 meses
i = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
(1+0.05)6 = 1.340095640625
(1+i)n – 1 = 0.340095640625

340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625
N ≈ 1340.10

Dcr = N – A
340.10 = 1340.10 – A
A = 1000

Alternativa c.

Questão 15 – O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgaste) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:

Resposta:
N = 5 * Drc
n = 10 meses
A = 200000

Drc = N – A
Drc = 5 * Drc – 200000
4 * Drc = 200000
Drc = 50000

Drc = N – A
50000 = N – 200000
N = 250000

alternativa b.

Questão 16 – (Prova ATTN) Um Commercial paper, com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.

Resposta:
N = 1000000
n = 3 anos
i = 0.1 a.a.

Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
(1+i)n = 1.331
(1+i)n -1 = 0.331
Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331
Dcr = 248,685.20

A = N – Drc
A = 1000000 – 248,685.20
A = 751,314.80

Alternativa a.

Questão 17 – Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções:

  • I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.;
  • II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.;
  • III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m.

Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção:

Resposta:
N = 11245.54
n = 60 dias = 2 meses

I) Dc = N * i * n
Dc = 11245.54 * 0.025 *2
Dc = 562.277
A = N – Dc
A = 11245.54 – 562.277
A = 10683.26

II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n)
Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2)
Dr = 674.7324 / 1.06
Dr = 636.54
A = N – Dc
A = 11245.54 – 636.54
A = 10609.0

III) Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
Dcr = 11245.54 * 0.05740409
Dcr = 645.54
A = N – Dc
A = 11245.54 – 645.54
A = 10600

Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o valor atual da escolha II e a III é nove, então se houve um erro na digitação da questão a resposta é a alternativa c.

Questão 18 – Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00, quatro meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calculo o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m..

Resposta:
Dc = 672
n = 4 meses
i = 0.03 a.m.

Dc = N * i * n
672 = N * 0.03 * 4
N = 5600

Dcr = N * [1 – (1/(1+i)n)]
Dcr = 5600 * [1 – (1/(1+i)n)]
(1+i)n = 1.12550881
Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881
Dcr = 624.47

A alternativa c.

Questão 19 – (Esaf – ATE / MS 2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver).

Resposta:
A = 4400
n = 4 meses
i = 0.03 a.m.

A = N – Drc
A + Drc = N
Drc = N * [1 – (1/(1+i)n)]
(1+i)n = 1.12550881
Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881
Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657
Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657
Drc * 0.888487048 = 490.657
Drc = 552.23

N = A + Drc
N = 4400 + 552.23
N = 4952.23

Alternativa d.

Questão 20 – Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, devendo o empréstimo ser pago após 4 meses, acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de desconto racional composto de 30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga por CArlos a título de quitação do empréstimo.

Resposta:
N = 100000
n = 4 meses = 120 dias
i = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d.

M =C * (1+i)n
M =100000 * (1+0.005)120
M = 181939.67

A = M / (1+0.3/2)
A = 158208.4
Alternativa d.

Questão 21 – Calcule o valor nominal de um título que, resgatado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreu desconto racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com capitalização semestral.

Resposta:
n = 1.5 anos = 3 semestres
Drc = 25000
i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s.

Dcr = N * [ ((1+i)n – 1) / (1+i)n]
(1+i)n = 1.520875
(1+i)n -1 = 0.520875
25000 = N * 0.520875 / 1.520875
N = 25000 * 1.520875 / 0.520875
N = 72996.16

Alternativa a.