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Um resumo de revisão sobre métodos numéricos para zeros reais de funções reais. Como é um resumo não há nenhuma dedução desses métodos.

Isolamento: para um f(x) contínuo no intervalo [a,b] tal que f(a)·f(b) < 0 e que ε ∈ [a,b], onde ε é tal que f(ε) = 0.

Métodos de zeros reais de funções reais: o objetivo é encontrar um valor x o mais próximo possível de ε.

• Escolhemos um intervalo [a,b] tal que ε∈[a,b] e f(a)·f(b) < 0.
• No passo k encontramos uma aproximação x_k (como obter essa aproximação varia de acordo com o método e é feito usando o valor da iteração anterior).
• Fazemos um teste de parada. Se |x_k+1-x_k | < E_a ou f(x_k) < E_b, paramos. Os valores de E_a e E_b são dados pelo problema.

Método da bisseção:

• Iteramos fazendo
• Na próxima iteração escolhemos um novo intervalo
  • Se f(x)·f(b) < 0, então escolhemos o mesmo b e fazemos a ← x.
  • Se f(a)·f(x) < 0, então escolhemos o mesmo a e fazemos b ← x.

Método do ponto falso:

• No passo k achamos uma aproximação
• Na próxima passo escolhemos novos valores para a ou b da mesmo forma que fizemos no método da bisseção.

Método do ponto fixo:

• Encontramos uma função de iteração φ(x) tal que φ(x) = x + A(x)·f(x) com a condição que em ε, ponto fixo de φ(x), se tenha A(ε) ≠ 0.
• x_k+1 = φ(x_k).

Método de Newton-Raphson:

• 
• Para que o método convirja
  • φ(x) e φ’(x) devem ser contínuas no intervalo [a,b] escolhido.
  • |φ’(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈[a,b].

obs: Como newton-raphson é necessário calcular derivadas analiticamente, há uma boa tabela de derivadas na Wikipédia aqui.

Método da Secante:

• Aplicamos o método de newton-raphson mas usando uma aproximação para a derivada