Questão 11 do capítulo 2 do livro Física 1, R. Resnick e D. Halliday.

Dois vetores de módulos a e b formam entre si um ângulo ϴ (teta). Determine o módulo s do vetor resultante da soma destes vetores.

Solução:

Podemos desenhar a e b assim, para algum ângulo ϴ qualquer:

A resultante r será algo dessa forma:

Se decompormos b em suas componentes b_x e b_y teremos essa figura:

Temos aí um triângulo retângulo, onde r é a hipotenusa, b_y é um cateto e a+b_x é o outro cateto. Aplicando pitágoras:

r² = b_y² + (a+b_x)²

Mas sabemos que b_x= b·cosϴ e que b_y= b·senϴ. De forma que podemos escrever e desenvolver

r² = (b·senϴ)² + (a+b·cosϴ)²
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ

Colocando b² em evidência.

r² = a² + b²(sen²ϴ+cos²ϴ) + 2·a·b·cosϴ

Da trigonometria sabemos que 1 = sen²ϴ+cos²ϴ.

r² = a² + b² + 2·a·b·cosϴ