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Tag: Física

7 anos de CEJUG

niver cct 2009

fontes: cct-set-2009.zip

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Questões de conservação do momento linear

Algumas questões do capítulo 9 do livro Física 1, R. Resnick e D. Halliday, quarta edição.

Questão 2. Seja d a distância entre um corpo de massa m1 e outro corpo de massa m2.
Considere um sistema de coordenadas cujo centro coincida com o centro de massa dos dois corpos. Obtenha uma expressão para o cálculo da distância d1 entre o centro deste sistema e o centro do corpo de massa m1.

Resposta:
Partículas
Temos que:

  • d2 – d1 = d
  • divisão

Como sabemos que m1+m2 é não nulo então
d1·m1 + d2·m2 = 0
d1·m1 = – d2·m2
Como d2 = d + d1substituímos d2
d1·m1 = – (d + d1)·m2
d1·m1 = – d·m2 – d1·m2
d1·m1 + d1·m2 = – d·m2
d1· (m1 + m2) = – d·m2
d1 = – d·m2 / (m1 + m2)
e como estamos interessados na distância, então podemos desprezar o sinal de menos:

d1 = d·m2 / (m1 + m2)

Questão 10. Um bloco possui massa m1 e outro bloco possui massa m2 = 5·m1. Estes blocos são presos às extremidades de uma mola e colocados sobre um plano horizontal sem atrito. O bloco de massa m1 se aproxima do centro de massa com velocidade 6,5m/s. O centro de massa permanece em repouso uma vez que não existe nenhuma força externa aplicada. Calcule a velocidade do bloco de massa m2 em relação ao centro de massa.

Resposta: Seja o centro do massa do sistema a origem do sistema de referência.
Seja d1 a distância do centro de massa até o bloco 1 e seja d2 a distância do centro de massa até o bloco 2. Então temos:
d1·m1 = d2·m2
Como m2 = 5·m1
(i) d1·m1 = d2·5·m1

Imaginamos que passado um tempo Δt os blocos se moveram e agora estão na posição d1‘ e d2‘.
Nesse momento temos analogamente:
(ii) d1‘·m1 = d2‘·5·m1

Subtraindo (i) de (ii):

d1‘·m1 – d1·m1 = d2‘·5·m1 – d2·5·m1

Colocando as massas e constantes em evidencia:
m1·(d1‘ – d1) = 5·m1·(d2‘ – d2)

Dividindo ambos os lados da equação por Δt temos:
m1·(d1‘ – d1) /Δt = 5·m1·(d2‘ – d2) / Δt

A velocidade v1 do bloco 1 é dada por (d1‘-d1)/Δt e a
velocidade v2 do bloco 2 é dada por (d2‘-d2)/Δt, então
m1·v1 = 5·m1·v2
v1 = 5·v2
v2 = v1 / 5
Como v1 é 6,5 m/s então v2 é 1,3 m/s.

Uma carreta sobe uma estrada …

Questão: Uma carreta sobe uma estrada cuja inclinação em relação à horizontal é de 30°, a uma velocidade de 40km/h. A força resistiva é igual a 0,75 do peso da carreta. Que velocidade teria a mesma carreta se descesse a estrada com a mesma potência?

Resposta:

Generalizando, vou chamar o ângulo de Θ e o coeficiente da orça resistiva de ψ.

Subida
Figura 1 – A subida

Essa força resistiva não é exatamente o atrito, porque se fosse o atrito teríamos de calcular as componentes do peso para descobrir a normal. O trabalho exercido por essa força resistiva é igual a força ψ·m·g vezes a distância d.

Na subida:
Ea=Eb
onde

  • Ea = m·v²/2 + Em
  • Eb = m·v²/2 + m·g·h + ψ·m·g·d

A carreta ira de um certo ponto A para um certo ponto B com uma mesma velocidade, a inércia pode cuidar disso. Mas a carreta precisa de alguma energia para converter em energia potencial gravitacional e na energia gasta pelo atrito. Essa energia vamos chamar de Em, a energia do motor. A carreta já parte com essa energia guardada para ser transformada em outras formas de energia. Podemos ver isso como o combustível do veículo. Note que nenhuma energia aparece ou se perde.

Igualando as duas equações temos:

  • m·v²/2 + Em = m·v²/2 + m·g·h + ψ·m·g·d

cortando a energia cinética dos dois lados e como h = d·senΘ:

  • Em = m·g·d·senΘ + ψ·m·g·d

colocando d em evidência:

  • Em = d·(m·g·senΘ + ψ·m·g)

A potência do motor na subida é dada pelo trabalho desenvolvido pelo motor dividido pelo tempo levado para subir do ponto A até o ponto B.

  • Pm = Em/t

Como eu não tenho esse tempo eu posso dizer que o tempo é igual à distância dividida pela velocidade.

  • Pm = Em/(d/v)
  • Pm = Em·v/d

Substituindo Em:

  • Pm = d·(m·g·senΘ + ψ·m·g)·v/d
  • Pm = (m·g·senΘ + ψ·m·g)·v
  • Pm = v·m·g·(senΘ + ψ)

Na descida:

Descida
Figura 2 – A descida

Usando o mesmo raciocínio e notação da subida temos:

Ea=Eb
onde

  • Ea = m·v²/2 + ψ·m·g·d
  • Eb = m·v²/2 + m·g·h + Em

igualando as duas equações:

  • m·v²/2 + ψ·m·g·d = m·v²/2 + m·g·h + Em
  • ψ·m·g·d = m·g·h + Em
  • Em = ψ·m·g·d – m·g·h

Como h = d·senΘ:

  • Em = ψ·m·g·d – m·g·d·senΘ
  • Em = d·m·g·(ψ – senΘ)

A potência do motor é dada pelo trabalho sobre o tempo:

  • Pm = Em/t

Novamente não conhecemos o tempo mas sabemos que ele é a distância sobre a velocidade, que vou chamar de v linha para diferenciar da velocidade da carreta na subida:

  • Pm = Em/(d/v’)
  • Pm = Em·v’/d

Substituindo Em:

  • Pm = d·m·g·(ψ – senΘ)·v’/d
  • Pm = v’·m·g·(ψ – senΘ)

Como queremos que a potência na subida seja igual a potência na descida, igualamos as equações das potências:

  • v·m·g·(senΘ + ψ) = v’·m·g·(ψ – senΘ)
  • v·(senΘ + ψ) = v’·(ψ – senΘ)
  • v’·(ψ – senΘ) = v·(senΘ + ψ)
  • v’ = v·(senΘ + ψ) / (ψ – senΘ)

Note que nesse problema, a velocidade na descida só depende da velocidade na subida, o coeficiente da força resistiva e do ângulo Θ.

Calculando para v = 40km/h, ψ = 0,75, Θ = 30º e senΘ = 0,5.

  • v’ = 40km/h·(0,5 + 0,75) / (0,75 – 0,5)
  • v’ = 40km/h·1,25 / 0,25
  • v’ = 200km/h

Soma de dois vetores

Questão 11 do capítulo 2 do livro Física 1, R. Resnick e D. Halliday.

Dois vetores de módulos a e b formam entre si um ângulo ϴ (teta). Determine o módulo s do vetor resultante da soma destes vetores.

Solução:

Podemos desenhar a e b assim, para algum ângulo ϴ qualquer:

Dois vetores a e b com um ângulo teta

A resultante r será algo dessa forma:

Resultante R

Se decompormos b em suas componentes bx e by teremos essa figura:

Vetores completos

Temos aí um triângulo retângulo, onde r é a hipotenusa, by é um cateto e a+bx é o outro cateto. Aplicando pitágoras:

r² = by² + (a+bx

Mas sabemos que bx= b·cosϴ e que by= b·senϴ. De forma que podemos escrever e desenvolver

r² = (b·senϴ)² + (a+b·cosϴ)²
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ

Colocando b² em evidência.

r² = a² + b²(sen²ϴ+cos²ϴ) + 2·a·b·cosϴ

Da trigonometria sabemos que 1 = sen²ϴ+cos²ϴ.

r² = a² + b² + 2·a·b·cosϴ