fontes: cct-set-2009.zip

• Quando: esse sábado agora, 19 de Setembro de 2009.
• Onde: na Faculdade 7 de Setembro (Rua Alm. Maximiniano da Fonseca, 1395).
• Preço: Gratuito.

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Questão 2. Seja d a distância entre um corpo de massa m₁ e outro corpo de massa m₂.
Considere um sistema de coordenadas cujo centro coincida com o centro de massa dos dois corpos. Obtenha uma expressão para o cálculo da distância d₁ entre o centro deste sistema e o centro do corpo de massa m₁.

Resposta:

Temos que:

• d₂ – d₁ = d
• 

Como sabemos que m₁+m₂ é não nulo então
d₁·m₁ + d₂·m₂ = 0
d₁·m₁ = – d₂·m₂
Como d₂ = d + d₁substituímos d₂
d₁·m₁ = – (d + d₁)·m₂
d₁·m₁ = – d·m₂ – d₁·m₂
d₁·m₁ + d₁·m₂ = – d·m₂
d₁· (m₁ + m₂) = – d·m₂
d₁ = – d·m₂ / (m₁ + m₂)
e como estamos interessados na distância, então podemos desprezar o sinal de menos:

d₁ = d·m₂ / (m₁ + m₂)

Questão 10. Um bloco possui massa m₁ e outro bloco possui massa m₂ = 5·m₁. Estes blocos são presos às extremidades de uma mola e colocados sobre um plano horizontal sem atrito. O bloco de massa m₁ se aproxima do centro de massa com velocidade 6,5m/s. O centro de massa permanece em repouso uma vez que não existe nenhuma força externa aplicada. Calcule a velocidade do bloco de massa m₂ em relação ao centro de massa.

Resposta: Seja o centro do massa do sistema a origem do sistema de referência.
Seja d₁ a distância do centro de massa até o bloco 1 e seja d₂ a distância do centro de massa até o bloco 2. Então temos:
d₁·m₁ = d₂·m₂
Como m₂ = 5·m₁
(i) d₁·m₁ = d₂·5·m₁

Imaginamos que passado um tempo Δt os blocos se moveram e agora estão na posição d₁‘ e d₂‘.
Nesse momento temos analogamente:
(ii) d₁‘·m₁ = d₂‘·5·m₁

Subtraindo (i) de (ii):

d₁‘·m₁ – d₁·m₁ = d₂‘·5·m₁ – d₂·5·m₁

Colocando as massas e constantes em evidencia:
m₁·(d₁‘ – d₁) = 5·m₁·(d₂‘ – d₂)

Dividindo ambos os lados da equação por Δt temos:
m₁·(d₁‘ – d₁) /Δt = 5·m₁·(d₂‘ – d₂) / Δt

A velocidade v₁ do bloco 1 é dada por (d₁‘-d₁)/Δt e a
velocidade v₂ do bloco 2 é dada por (d₂‘-d₂)/Δt, então
m₁·v₁ = 5·m₁·v₂
v₁ = 5·v₂
v₂ = v₁ / 5
Como v₁ é 6,5 m/s então v₂ é 1,3 m/s.

Resposta:

Generalizando, vou chamar o ângulo de Θ e o coeficiente da orça resistiva de ψ.

Figura 1 – A subida

Essa força resistiva não é exatamente o atrito, porque se fosse o atrito teríamos de calcular as componentes do peso para descobrir a normal. O trabalho exercido por essa força resistiva é igual a força ψ·m·g vezes a distância d.

Na subida:
Ea=Eb
onde

• Ea = m·v²/2 + Em
• Eb = m·v²/2 + m·g·h + ψ·m·g·d

A carreta ira de um certo ponto A para um certo ponto B com uma mesma velocidade, a inércia pode cuidar disso. Mas a carreta precisa de alguma energia para converter em energia potencial gravitacional e na energia gasta pelo atrito. Essa energia vamos chamar de Em, a energia do motor. A carreta já parte com essa energia guardada para ser transformada em outras formas de energia. Podemos ver isso como o combustível do veículo. Note que nenhuma energia aparece ou se perde.

Igualando as duas equações temos:

• m·v²/2 + Em = m·v²/2 + m·g·h + ψ·m·g·d

cortando a energia cinética dos dois lados e como h = d·senΘ:

• Em = m·g·d·senΘ + ψ·m·g·d

colocando d em evidência:

• Em = d·(m·g·senΘ + ψ·m·g)

A potência do motor na subida é dada pelo trabalho desenvolvido pelo motor dividido pelo tempo levado para subir do ponto A até o ponto B.

• Pm = Em/t

Como eu não tenho esse tempo eu posso dizer que o tempo é igual à distância dividida pela velocidade.

• Pm = Em/(d/v)
• Pm = Em·v/d

Substituindo Em:

• Pm = d·(m·g·senΘ + ψ·m·g)·v/d
• Pm = (m·g·senΘ + ψ·m·g)·v
• Pm = v·m·g·(senΘ + ψ)

Na descida:

Figura 2 – A descida

Usando o mesmo raciocínio e notação da subida temos:

Ea=Eb
onde

• Ea = m·v²/2 + ψ·m·g·d
• Eb = m·v²/2 + m·g·h + Em

igualando as duas equações:

• m·v²/2 + ψ·m·g·d = m·v²/2 + m·g·h + Em
• ψ·m·g·d = m·g·h + Em
• Em = ψ·m·g·d – m·g·h

Como h = d·senΘ:

• Em = ψ·m·g·d – m·g·d·senΘ
• Em = d·m·g·(ψ – senΘ)

A potência do motor é dada pelo trabalho sobre o tempo:

• Pm = Em/t

Novamente não conhecemos o tempo mas sabemos que ele é a distância sobre a velocidade, que vou chamar de v linha para diferenciar da velocidade da carreta na subida:

• Pm = Em/(d/v’)
• Pm = Em·v’/d

Substituindo Em:

• Pm = d·m·g·(ψ – senΘ)·v’/d
• Pm = v’·m·g·(ψ – senΘ)

Como queremos que a potência na subida seja igual a potência na descida, igualamos as equações das potências:

• v·m·g·(senΘ + ψ) = v’·m·g·(ψ – senΘ)
• v·(senΘ + ψ) = v’·(ψ – senΘ)
• v’·(ψ – senΘ) = v·(senΘ + ψ)
• v’ = v·(senΘ + ψ) / (ψ – senΘ)

Note que nesse problema, a velocidade na descida só depende da velocidade na subida, o coeficiente da força resistiva e do ângulo Θ.

Calculando para v = 40km/h, ψ = 0,75, Θ = 30º e senΘ = 0,5.

• v’ = 40km/h·(0,5 + 0,75) / (0,75 – 0,5)
• v’ = 40km/h·1,25 / 0,25
• v’ = 200km/h

Dois vetores de módulos a e b formam entre si um ângulo ϴ (teta). Determine o módulo s do vetor resultante da soma destes vetores.

Solução:

Podemos desenhar a e b assim, para algum ângulo ϴ qualquer:

A resultante r será algo dessa forma:

Se decompormos b em suas componentes b_x e b_y teremos essa figura:

Temos aí um triângulo retângulo, onde r é a hipotenusa, b_y é um cateto e a+b_x é o outro cateto. Aplicando pitágoras:

r² = b_y² + (a+b_x)²

Mas sabemos que b_x= b·cosϴ e que b_y= b·senϴ. De forma que podemos escrever e desenvolver

r² = (b·senϴ)² + (a+b·cosϴ)²
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ

Colocando b² em evidência.

r² = a² + b²(sen²ϴ+cos²ϴ) + 2·a·b·cosϴ

Da trigonometria sabemos que 1 = sen²ϴ+cos²ϴ.

r² = a² + b² + 2·a·b·cosϴ