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Tag: Métodos Numéricos

Métodos Numéricos para resolução de sistemas lineares

Published by Silveira on 17 December, 2007

Seja um sistema

Sistema

podemos escreve-lo na forma matricial A·x = b

Matriz sistema

onde:

  • A é a matriz de coeficientes,
  • x é a matriz de incógnitas,
  • b é a matriz de termos independentes.

Triangular superior: Se tivermos a forma matricial A’·x = b, onde A’ é uma matriz triangular superior

matriz triangular superior

Logo xn = bn/an,m . Com xn em mãos podemos achar xn-1 e assim por diante.

O método de Gauss para resolução de sistemas lineares e os outros métodos derivados deste, tentam transformar o sistema A·x = b em um sistema equivalente A’·x = b onde A’ é uma matriz triangular superior.

Métodos Numéricos para zeros reais de funções reais

Published by Silveira on 17 December, 2007

Um resumo de revisão sobre métodos numéricos para zeros reais de funções reais. Como é um resumo não há nenhuma dedução desses métodos.

Isolamento: para um f(x) contínuo no intervalo [a,b] tal que f(a)·f(b) < 0 e que ε ∈ [a,b], onde ε é tal que f(ε) = 0.

Métodos de zeros reais de funções reais: o objetivo é encontrar um valor x o mais próximo possível de ε.

  • Escolhemos um intervalo [a,b] tal que ε∈[a,b] e f(a)·f(b) < 0.
  • No passo k encontramos uma aproximação xk (como obter essa aproximação varia de acordo com o método e é feito usando o valor da iteração anterior).
  • Fazemos um teste de parada. Se |xk+1-xk | < Ea ou f(xk) < Eb, paramos. Os valores de Ea e Eb são dados pelo problema.

Método da bisseção:

  • Iteramos fazendo biseção
  • Na próxima iteração escolhemos um novo intervalo
    • Se f(x)·f(b) < 0, então escolhemos o mesmo b e fazemos a ← x.
    • Se f(a)·f(x) < 0, então escolhemos o mesmo a e fazemos b ← x.

Método do ponto falso:

  • No passo k achamos uma aproximação ponto falso
  • Na próxima passo escolhemos novos valores para a ou b da mesmo forma que fizemos no método da bisseção.

Método do ponto fixo:

  • Encontramos uma função de iteração φ(x) tal que φ(x) = x + A(x)·f(x) com a condição que em ε, ponto fixo de φ(x), se tenha A(ε) ≠ 0.
  • xk+1 = φ(xk).

Método de Newton-Raphson:

  • Método de Newton-Raphson
  • Para que o método convirja
    • φ(x) e φ'(x) devem ser contínuas no intervalo [a,b] escolhido.
    • |φ'(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈[a,b].

obs: Como newton-raphson é necessário calcular derivadas analiticamente, há uma boa tabela de derivadas na Wikipédia aqui.

Método da Secante:

  • Aplicamos o método de newton-raphson mas usando uma aproximação para a derivada
    Secante

Decimal para Binário

Published by Silveira on 30 August, 2007

Código em C para converter um inteiro positivo em uma representação em string binária.

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
 
char * decpbin(unsigned int n){
   int i, r, c;
   char * bin;
   bin = calloc(16,sizeof(char));
   memcpy(bin, "0000000000000000", 16);
   i = n;
   c = 0;
   while(i>0){
      r = i % 2;
      i = i/2;
      bin[15-c] = '0'+r;
      c++;
   }
   return bin;
}
 
int main(){
   char * dec;
   dec = decpbin(1985);
   printf("%s\n", dec);
   free(dec);
}

Compilando e Testando:

$ gcc decbin.c -o decbin
$ ./decbin
0000011111000001

No caso, ele foi feito para inteiros não sinalizados. Como um inteiro ocupa 16 bits, e não estamos gastando um bit para o sinal, o maior número que pode ser convertido é 65535. Por isso criamos a string bin com 16 casas de tamanho.

Basicamente é o algoritmo que se usa para transformar um inteiro em binário. Você pega o número, pega o resto da divisão por 2, que vai ser 0 ou 1 e usa isso para representar o bit menos significativo, ou seja, o mais a direita. Depois pega o número e divide por dois e pega novamente o resto. Fica fazendo isso até que o número dividido por 2 seja 0.