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Lista 1 de Métodos Numéricos 2

Questão 1) Calcule a área de uma curva, cujos valores são dados conforme tabela abaixo, usando:
a) A regra do trapézio estendida, com 5 partições;
b) A regra do trapézio estendida, com 10 partições;
c) A fórmula de Romberg;
d) A regra 1/3 de Simpson.

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
f(x) 5 2,5 2 2,5 5 7,5 10 7,5 10 5 0

Solução:
a) A área A de uma função f(x) de a até b é aproximada pela regra do trapézio estendida com 5 partições por:
I5= h/2 ⋅ (f(x0) + 2⋅f(x1) + 2⋅f(x2) + … + 2⋅f(x4) + f(x5))
Onde a=0,0; b=1,0; n = 5; h = (b-a)/n → h = 0,2 ; xi = a + h⋅i → xi = 0,2⋅i
I5= h/2 ⋅ (f(0) + 2⋅f(0,2) + 2⋅f(0,4) +2⋅f(0,6) + 2⋅f(0,8) + f(1))
I5= 0,2/2 ⋅ (5 + 4 + 10 + 20 + 20 + 0)
I5 = 0,1 ⋅ 59
I5 = 5,9

b) A área A de uma função f(x) de a até b é aproximada pela regra do trapézio estendida com 10 partições por:
I10 = h/2 ⋅ (f(x0) + 2⋅f(x1) +2⋅f(x2) + … +2⋅f(x9) + f(x10))
Onde a=0,0; b=1,0; n = 10; h = (b-a)/n → h = 0,1 ; xi = a + i ⋅ h → xi = i ⋅ 0,1
I10 = 0,1/2 ⋅ ( f(0) + 2⋅f(0,1) + 2⋅f(0,2) + 2⋅f(0,3) + 2⋅f(0,4) + 2⋅f(0,5) + 2⋅f(0,6) + 2⋅f(0,7) + 2⋅f(0,8) + 2⋅f(0,9) + f(1) )
I10 = 0,05 ⋅ (5 + 5 + 4 + 5 + 10 +15 + 20 + 15 + 20 + 10 + 0)
I10 = 0,05 ⋅ 109
I10 = 5,45

c) Ir = In + 1/3 ⋅ (In-I2n)

Ir = I10 + 1/3 ⋅ (I10-I5)
Ir= 5,45 + 1/3 ⋅ (5,45 – 5,9)
Ir = 5,45 – 1/3 ⋅ 0,45
Ir = 5,3

d) A área A de uma integral de a até b de uma função f(x) é aproximada pelo regra de Simpson 1/3 por:
IS = h/3 ⋅ ( f(a) + 4⋅f( (a+b)/2 ) + f(b) )
com h = (b-a)/n → h = 0,5
IS = 0,5/3 ⋅ ( f(0) + 4⋅f(0,5) + f(1) )
IS = 1/6 ⋅ ( 5 + 4⋅7,5 + 0 )
IS = 1/6 ⋅ 35
IS = 5,833
Pela regra de Simpsons 1/3 composta:
ISC = h/3 ⋅ ( f(x0) + 4⋅f(x1) + 2⋅f(x2) + 4⋅f(x3) + … + f(xn))
Com n = 10; h = (b-a)/n → h = 0,1
ISC = h/3 ⋅ (f(0) + 4⋅f(0,1) + 2⋅f(0,2) + 4⋅f(0,3) + 2⋅f(0,4) + 4⋅f(0,5) + 2⋅(0,6) + 4⋅(0,7) + 2⋅f(0,8) + 4⋅f(0,9) + f(1))
ISC = 0,1/3 ⋅ (5 + 4⋅2,5 + 2⋅2 + 4⋅2,5 + 2⋅5 + 4⋅7,5 + 2⋅10 + 4⋅7,5 + 2⋅10 + 4⋅5 + 0)
ISC = 1/30 ⋅ (5 + 10 + 4 + 10 + 10 + 30 + 20 + 30 + 20 + 20)
ISC = 1/30 ⋅ (159)
ISC = 5,3

Questão 2) Calcule a área sob a curva definida pela tabela da questão anterior utilizando Quadratura de Gauss-Legendre e assumindo que a curva é mostrada como um polinômio de grau 5.
Siga os seguintes passos:

  • a) Definição do número de pontos de Legendre
  • b) Definição da parametrização
  • c) Calculo dos pontos de Legendre e dos seus pesos
  • d) Calculo da integral na forma de planilha.

Solução:
a) 2n – 1 = 5 → n = 3
b) x-0/1-0 = ξ-(-1)/1-(-1) → x = (ξ+1)/2 → ξ = 2x – 1
c) P3 = 1/(2n⋅n!) ⋅ dn/dxn (x2-1)n
P3 = 1/(23⋅3!) ⋅ (d3/dx3(x2-1)3)
P3 = 1/(8⋅6) ⋅ d2/dx2 ⋅[3(x2-1)2(2x)]
P3 = 1/48 ⋅ d2/dx2 ⋅[6x5-12x3+6x]
P3 = 1/48 ⋅ d/dx ⋅[30x4-36x2+6]
P3 = 1/48 ⋅ [120x3-72x]
P3 = 2,5x3– 1,5x
P3 = x⋅(2,5x2– 1,5)

P3 = 0 → x⋅(2,5x2– 1,5) = 0
x = 0
ou 2,5x2– 1,5 = 0
x2 = ± 3/5
x = ± √(3/5)

logo os pontos são ξ0 = -√(3/5), ξ1 = 0 e ξ0 = √(3/5)

w0 = ξ-ξ000 ⋅ ξ-ξ101 ⋅ ξ-ξ202
w0 = ξ-0/-√(3/5) ⋅ ξ-√(3/5)/-√(3/5)-√(3/5)

L0 = ξ-0/-√(3/5) ⋅ ξ-√(3/5)/-√(3/5)-√(3/5)
L0 = 5/6 ⋅ ξ(ξ-√(3/5))
w0 = 1-1 5/6 ⋅ ξ(ξ-√(3/5)) dξ
w0 = 5/6 [ ξ3/3 – ξ2/2 ⋅ √(3/5)]1-1
w0= 5/9

L1 = ξ-ξ010ξ-ξ111 ⋅ ξ-ξ212

w1 = 1-1 L1

w1 = 8/9

L2 = ξ-ξ020 ⋅ ξ-ξ121ξ-ξ222

w2 = 1-1 L2

w2 = 5/9

d) I = 2i=0 wi ⋅ f(ξi)
ξ0 = -√(3/5) → x0 = 0,887
ξ1 = 0 → x0 = 0,5
ξ0 = √(3/5) → x0 = 0,1

I = ba f(x)dx → I = (b-a)/2 ⋅ 1-1 f(ξ)dξ → I = (b-a)/2 ⋅ Ni=0 wi⋅ξi

ξi wi x(wi) f(x(wi)) wi ⋅ f(x(wi))
-0,7746 5/9 0,112 2,569 1,43
0 8/9 0,5 7,5 6,66
0,7746 5/9 0,887 6,429 3,572

I = 0,5 ⋅ (1,43+6,66+3,572)
I = 5,831

Questão 3) Calcule a integral que define a área da curva dada pela tabela mostrada anteriormente pela fórmula fechada de Newton-Cotes, para N=4. Se forem necessários valores de pontos não-tabelados, esses valores são dados por interpolação linear entre os valores tabelados.

Questão 4) Desenvolva as fórmulas de aproximação da derivada segunda de f(x) e complete a tabela abaixo da forma mais precisa possível.

x f(x) f ”(x)
3,6 1,2
3,8 0,8
4,0 0,3
4,2 0,5

Assuma que as fórmulas das derivadas de primeira ordem são conhecidas. Use:
a) Expansão de Taylor (Forward, Backward e Central);
b) Operadores diferenciais (Forward, Backward e Central).

Solução:

a) (1) f(xi+1) = f(xi+h) ≃ f(xi) + h⋅f'(xi) + 1/2! ⋅h2⋅f”(xi)

(2) f(xi-1) = f(xi-h) ≃ f(xi) – f'(xi)⋅h + 1/2! ⋅h2⋅f”(xi)

(3) f(xi+2) = f(xi+2h) ≃ f(xi) + 2⋅h⋅f'(xi) + 1/2! ⋅4h2⋅f”(xi)

(4) f(xi-2) = f(xi-2h) ≃ f(xi) – 2⋅h⋅f'(xi) + 1/2! ⋅4h2⋅f”(xi)

3 Comments

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  1. Lia Fook says:

    gauss-legendre bugou aki oh!!
    kero eh ver amanha =’

  2. Eduardo says:

    b) x-0/1-0 = ξ-(-1)/1-(-1) → x = (ξ+1)/2 → x = 2x – 1

    x = 2x -1 seria ξ = 2x – 1

  3. Silveira says:

    @Eduardo, corrigido.

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