Lista 1 de Métodos Numéricos 2

Questão 1) Calcule a área de uma curva, cujos valores são dados conforme tabela abaixo, usando:
a) A regra do trapézio estendida, com 5 partições;
b) A regra do trapézio estendida, com 10 partições;
c) A fórmula de Romberg;
d) A regra 1/3 de Simpson.

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
f(x)	5	2,5	2	2,5	5	7,5	10	7,5	10	5	0

Solução:
a) A área A de uma função f(x) de a até b é aproximada pela regra do trapézio estendida com 5 partições por:
I₅= h/2 â‹… (f(x₀) + 2â‹…f(x₁) + 2â‹…f(x₂) + … + 2â‹…f(x₄) + f(x₅))
Onde a=0,0; b=1,0; n = 5; h = (b-a)/n → h = 0,2 ; x_i = a + h⋅i → x_i = 0,2⋅i
I₅= h/2 â‹… (f(0) + 2â‹…f(0,2) + 2â‹…f(0,4) +2â‹…f(0,6) + 2â‹…f(0,8) + f(1))
I₅= 0,2/2 â‹… (5 + 4 + 10 + 20 + 20 + 0)
I₅ = 0,1 â‹… 59
I₅ = 5,9

b) A área A de uma função f(x) de a até b é aproximada pela regra do trapézio estendida com 10 partições por:
I₁₀ = h/2 â‹… (f(x₀) + 2â‹…f(x₁) +2â‹…f(x₂) + … +2â‹…f(x₉) + f(x₁₀))
Onde a=0,0; b=1,0; n = 10; h = (b-a)/n → h = 0,1 ; x_i = a + i ⋅ h → x_i = i ⋅ 0,1
I₁₀ = 0,1/2 â‹… ( f(0) + 2â‹…f(0,1) + 2â‹…f(0,2) + 2â‹…f(0,3) + 2â‹…f(0,4) + 2â‹…f(0,5) + 2â‹…f(0,6) + 2â‹…f(0,7) + 2â‹…f(0,8) + 2â‹…f(0,9) + f(1) )
I₁₀ = 0,05 â‹… (5 + 5 + 4 + 5 + 10 +15 + 20 + 15 + 20 + 10 + 0)
I₁₀ = 0,05 â‹… 109
I₁₀ = 5,45

c) I_r = I_n + 1/3 â‹… (I_n-I_2n)

I_r = I₁₀ + 1/3 â‹… (I₁₀-I₅)
I_r= 5,45 + 1/3 â‹… (5,45 – 5,9)
I_r = 5,45 – 1/3 â‹… 0,45
I_r = 5,3

d) A área A de uma integral de a até b de uma função f(x) é aproximada pelo regra de Simpson 1/3 por:
I_S = h/3 â‹… ( f(a) + 4â‹…f( (a+b)/2 ) + f(b) )
com h = (b-a)/n → h = 0,5
I_S = 0,5/3 â‹… ( f(0) + 4â‹…f(0,5) + f(1) )
I_S = 1/6 â‹… ( 5 + 4â‹…7,5 + 0 )
I_S = 1/6 â‹… 35
I_S = 5,833
Pela regra de Simpsons 1/3 composta:
I_SC = h/3 â‹… ( f(x₀) + 4â‹…f(x₁) + 2â‹…f(x₂) + 4â‹…f(x₃) + … + f(x_n))
Com n = 10; h = (b-a)/n → h = 0,1
I_SC = h/3 â‹… (f(0) + 4â‹…f(0,1) + 2â‹…f(0,2) + 4â‹…f(0,3) + 2â‹…f(0,4) + 4â‹…f(0,5) + 2â‹…(0,6) + 4â‹…(0,7) + 2â‹…f(0,8) + 4â‹…f(0,9) + f(1))
I_SC = 0,1/3 â‹… (5 + 4â‹…2,5 + 2â‹…2 + 4â‹…2,5 + 2â‹…5 + 4â‹…7,5 + 2â‹…10 + 4â‹…7,5 + 2â‹…10 + 4â‹…5 + 0)
I_SC = 1/30 â‹… (5 + 10 + 4 + 10 + 10 + 30 + 20 + 30 + 20 + 20)
I_SC = 1/30 â‹… (159)
I_SC = 5,3

Questão 2) Calcule a área sob a curva definida pela tabela da questão anterior utilizando Quadratura de Gauss-Legendre e assumindo que a curva é mostrada como um polinômio de grau 5.
Siga os seguintes passos:

• a) Definição do número de pontos de Legendre
• b) Definição da parametrização
• c) Calculo dos pontos de Legendre e dos seus pesos
• d) Calculo da integral na forma de planilha.

Solução:
a) 2n – 1 = 5 → n = 3
b) x-0/1-0 = ξ-(-1)/1-(-1) → x = (ξ+1)/2 → ξ = 2x – 1
c) P₃ = 1/(2ⁿâ‹…n!) â‹… dⁿ/dxⁿ (x²-1)ⁿ
P₃ = 1/(2³â‹…3!) â‹… (d³/dx³(x²-1)³)
P₃ = 1/(8â‹…6) â‹… d²/dx² â‹…[3(x²-1)²(2x)]
P₃ = 1/48 â‹… d²/dx² â‹…[6x⁵-12x³+6x]
P₃ = 1/48 â‹… d/dx â‹…[30x⁴-36x²+6]
P₃ = 1/48 â‹… [120x³-72x]
P₃ = 2,5x³– 1,5x
P₃ = xâ‹…(2,5x²– 1,5)

P₃ = 0 → xâ‹…(2,5x²– 1,5) = 0
x = 0
ou 2,5x²– 1,5 = 0
x² = ± 3/5
x = ± √(3/5)

logo os pontos são ξ₀ = -√(3/5), ξ₁ = 0 e ξ₀ = √(3/5)

w₀ = ξ-ξ₀/ξ₀-ξ₀ â‹… ξ-ξ₁/ξ₀-ξ₁ â‹… ξ-ξ₂/ξ₀-ξ₂
w₀ = ξ-0/-√(3/5) â‹… ξ-√(3/5)/-√(3/5)-√(3/5)

L₀ = ξ-0/-√(3/5) â‹… ξ-√(3/5)/-√(3/5)-√(3/5)
L₀ = 5/6 â‹… ξ(ξ-√(3/5))
w₀ = ∫¹_-1 5/6 â‹… ξ(ξ-√(3/5)) dξ
w₀ = 5/6 [ ξ³/3 – ξ²/2 â‹… √(3/5)]¹_-1
w₀= 5/9

L₁ = ξ-ξ₀/ξ₁-ξ₀ â‹… ξ-ξ₁/ξ₁-ξ₁ â‹… ξ-ξ₂/ξ₁-ξ₂

w₁ = ∫¹_-1 L₁ dξ

w₁ = 8/9

L₂ = ξ-ξ₀/ξ₂-ξ₀ â‹… ξ-ξ₁/ξ₂-ξ₁â‹… ξ-ξ₂/ξ₂-ξ₂

w₂ = ∫¹_-1 L₂ dξ

w₂ = 5/9

d) I = ∑²_i=0 w_i â‹… f(ξ_i)
ξ₀ = -√(3/5) → x₀ = 0,887
ξ₁ = 0 → x₀ = 0,5
ξ₀ = √(3/5) → x₀ = 0,1

I = ∫^b_a f(x)dx → I = (b-a)/2 â‹… ∫¹_-1 f(ξ)dξ → I = (b-a)/2 â‹… ∑^N_i=0 w_i⋅ξ_i

ξi	wi	x(wi)	f(x(wi))	wi ⋅ f(x(wi))
-0,7746	5/9	0,112	2,569	1,43
0	8/9	0,5	7,5	6,66
0,7746	5/9	0,887	6,429	3,572

I = 0,5 â‹… (1,43+6,66+3,572)
I = 5,831

Questão 3) Calcule a integral que define a área da curva dada pela tabela mostrada anteriormente pela fórmula fechada de Newton-Cotes, para N=4. Se forem necessários valores de pontos não-tabelados, esses valores são dados por interpolação linear entre os valores tabelados.

Questão 4) Desenvolva as fórmulas de aproximação da derivada segunda de f(x) e complete a tabela abaixo da forma mais precisa possível.

x	f(x)	f ”(x)
3,6	1,2
3,8	0,8
4,0	0,3
4,2	0,5

Assuma que as fórmulas das derivadas de primeira ordem são conhecidas. Use:
a) Expansão de Taylor (Forward, Backward e Central);
b) Operadores diferenciais (Forward, Backward e Central).

Solução:

a) (1) f(x_i+1) = f(x_i+h) ≃ f(x_i) + hâ‹…f'(x_i) + 1/2! â‹…h²â‹…f”(x_i)

(2) f(x_i-1) = f(x_i-h) ≃ f(x_i) – f'(x_i)â‹…h + 1/2! â‹…h²â‹…f”(x_i)

(3) f(x_i+2) = f(x_i+2h) ≃ f(x_i) + 2â‹…hâ‹…f'(x_i) + 1/2! â‹…4h²â‹…f”(x_i)

(4) f(x_i-2) = f(x_i-2h) ≃ f(x_i) – 2â‹…hâ‹…f'(x_i) + 1/2! â‹…4h²â‹…f”(x_i)